Планета школ

Многим учителям приходится сталкиваться с полным отсутствием интереса учеников к их предмету, а порой и того хуже — с ненавистью к нему, привитой прежними учителями или даже родителями. Математика, к сожалению, среди таких дисциплин стоит далеко не на последнем месте. А ведь это — предмет не только полезный, но и очень интересный! Но как объяснить это ученикам, если на уроках математики им приходится в основном решать скучные задачки из учебников, зазубривать формулы и находить доказательства теорем?

И все-таки заинтересовать подростков математикой, привить им любовь к этой, как сказано, «музыке, застывшей в формулах», не только можно, но и не так уж трудно! Конечно если вы, уважаемый преподаватель, действительно этого хотите.

Начать можно с того, чтобы разнообразить каждый урок занимательной математикой либо посвящать ей один урок в неделю. Ведь ученики — в первую очередь дети, даже если они уже десятиклассники, а большинство людей во многом остаются детьми и выйдя из школьного возраста. Так что их можно заинтересовать чем-то необычным, тем, что их удивит и на какое-то время озадачит. Для начала вы можете задать вопрос, очевидный и напрашивающийся ответ на который окажется неверным. Таких вопросов множество, но чтобы было понятно, о чем речь, вот несколько примеров:

Вопрос 1: Если в 12 часов ночи идет дождь, то можно ли ожидать, что через 72 часа будет солнечная погода?
Ответ: Нет, ведь через 72 часа будет снова полночь.

Вопрос 2: На столе лежат линейка, карандаш, циркуль и резинка. На листе бумаги нужно начертить окружность. С чего начать
Ответ: Надо достать лист бумаги.

Вопрос 3: В 12-этажном доме есть лифт. На первом этаже живет один человек, на втором — два, и так от этажа к этажу количество жильцов удваивается. Какую кнопку в лифте этого дома нажимают чаще других?
Ответ: Независимо от количества жильцов на каждом этаже, — кнопку «1».

Вопрос 4: Как далеко в лес может забежать заяц?
Ответ: До середины. Дальше он уже выбегает из леса.

Вопрос 5: В одной семье два отца и два сына. Сколько это человек?
Ответ: Трое (дед, отец, сын).

Эти простые и веселые вопросы помогут вам вызвать у учеников интерес и привлечь их внимание. Затем можно предложить им что-то посложнее. Для этого вооружитесь сборником старинных занимательных задачек или разыщите их в Интернете, как это сделали мы, чтобы найти примеры, которые приводим здесь для вас. Эти задачи живут сотни лет, но до сих пор восхищают красотой замысла и неожиданностью решений.

Если в классе задачку никто не решит, задайте ее на дом.

Итак...

Дележ верблюдов

Три брата получили в наследство от отца 17 верблюдов. Старшему отец завещал половину стада, среднему — треть, а младшему — девятую часть. Братья долго безуспешно пытались поделить наследство. Выходило, что старшему брату достается 8 верблюдов и еще примерно треть верблюда, среднему — 5 верблюдов и еще треть, младшему — один верблюд и, опять-таки, треть... Естественно, разрезать верблюдов никому не хотелось, и братья попросили помощи у мудреца, проезжавшего мимо них на верблюде. Мудрец спешился и присоединил своего верблюда к стаду братьев. От нового стада из 18-ти верблюдов Мудрец отделил половину — 9 верблюдов — для старшего брата, затем треть — 6 верблюдов — для среднего и, наконец, девятую часть — двух верблюдов — для младшего. После такой дележки мудрец сел на своего верблюда и продолжил путь. А братья стали думать, почему же каждый из них получил больше верблюдов, чем полагалось. Что же произошло?

Ответ: Все дело в том, что наследники с самого начала не заметили: завещанные им доли в сумме составляют не 100% наследства (как это бывает обычно), а всего 17/18 от общего количества. Так что даже если бы они решились, во имя буквального исполнения воли завещателя, резать верблюдов на части, то и тогда у них осталась бы лишней 1/18 доля наследства, т. е. 17/18 верблюда.

Скидка на сапоги

Старый сапожник Карл сшил сапоги и послал своего сына Ганса на базар — продать их за 25 талеров. На базаре к мальчику подошли два инвалида (один без левой ноги, другой — без правой) и попросили продать им по сапогу. Ганс согласился и продал каждый сапог за 12 с половиной талеров.

Когда мальчик пришел домой и рассказал все отцу, Карл решил, что инвалидам надо было продать сапоги дешевле — каждому за 10 талеров. Он дал Гансу 5 талеров и велел вернуть каждому инвалиду по 2,5 талера. Пока мальчик искал на базаре инвалидов, он увидел, что продают сладости, не смог удержаться и истратил 3 талера на конфеты. После этого он нашел инвалидов и отдал им оставшиеся деньги — каждому по одному талеру.

Возвращаясь домой, Ганс понял, как нехорошо он поступил. Он рассказал все отцу и попросил прощения. Сапожник сильно рассердился и наказал сына, посадив его в темный чулан.

Сидя в чулане, Ганс задумался. Получалось, что раз он вернул по одному талеру, то инвалиды заплатили за каждый сапог по 11,5 талера: 12,5−1=11,5. Значит, сапоги стоили 23 талера: 11,5+11,5=23. И 3 талера Ганс истратил на конфеты, следовательно, всего получается 26 талеров: 23+3=26. Но ведь было-то 25 талеров! Откуда же взялся лишний талер?

Ответ: Инвалиды заплатили за сапоги 23 талера, но Карл от них получил только 20, поскольку остальные 3 талера Ганс истратил на конфеты. Ганс, сидя в чулане, складывал доход (23 талера) с расходом (3 талера). Эта сумма не имеет никакого смысла. Другое дело, если бы он вычислил разность дохода и расхода — тогда остался бы «чистый» доход, т. е. те самые 20 талеров, которые в итоге получил Карл.

Крестьянин и черт

Идет крестьянин и плачет: «Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот и в кармане только несколько грошей медных болтается, да и те сейчас нужно отдать. И как это у других бывает, что на всякие свои деньги они еще деньги получают! Право, хоть бы кто помочь мне захотел».

Только успел это сказать, глядь, а перед ним черт стоит.
— Что ж, — говорит, — если хочешь, я тебе помогу. И это совсем нетрудно. Вот видишь этот мост через реку?
— Вижу! — говорит крестьянин, а сам заробел.
— Ну, так стоит тебе только перейти через мост — у тебя будет вдвое больше денег, чем есть. Перейдешь назад, опять станет вдвое больше, чем было. И каждый раз, как ты будешь переходить мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было до этого перехода.
— Ой ли? — говорит крестьянин.
— Верное слово! — уверяет черт. — Только, чур, уговор! За то, что я тебе удваиваю деньги, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не согласен.
— Ну, что же, это не беда! — говорит крестьянин. — Раз деньги все будут удваиваться, так отчего же 24 копейки тебе каждый раз не дать? Ну-ка, попробуем!

Прошел он через мост один раз, посчитал деньги. Действительно, стало вдвое больше. Бросил он 24 копейки черту и перешел через мост второй раз. Опять денег стало вдвое больше, чем перед этим. Отсчитал он 24 копейки, отдал черту и перешел через мост в третий раз. Денег стало снова вдвое больше. Но только и оказалось их ровно 24 копейки — те самые, которые по уговору он должен был отдать черту. Отдал он их и остался без копейки... Сколько же у крестьянина было денег вначале?

Ответ: 21 копейка.

Недоумение крестьянок

Две крестьянки продавали на базаре яблоки. Одна продавала за 1 копейку 2 яблока, а другая за 2 копейки 3 яблока. У каждой в корзине было 30 яблок, так что первая рассчитывала выручить за свои яблоки 15 копеек, а вторая 20 копеек. Обе вместе они должны были выручить 35 копеек. Сообразив это, крестьянки, чтобы не ссориться да не перебивать друг у друга покупателей, решили сложить свои яблоки вместе и продавать их сообща. Они рассуждали так: «Если я продаю пару яблок за копейку, а ты — три яблока за 2 копейки, то, чтобы выручить свои деньги, надо нам, значит, продавать пять яблок за 3 копейки!». Сказано — сделано. Сложили торговки свои яблоки вместе (получилось всего 60 яблок) и начали продавать по 3 копейки за 5 яблок.

Распродали и удивились: оказалось, что за свои яблоки они выручили 36 копеек, т. е. на копейку больше, чем думали выручить! Крестьянки задумались: откуда взялась лишняя копейка и кому из них следует ее получить? И как, вообще, им поделить теперь все вырученные деньги?

И в самом деле, как это вышло?

Пока эти две крестьянки разбирались в своей неожиданной прибыли, две другие торговки, прослышав об этом, тоже решили заработать лишнюю копейку. У них было тоже по 30 яблок, но продавали они так: первая давала за одну копейку пару яблок, а вторая за копейку давала 3 яблока. Первая после продажи должна была выручить 15 копеек, а вторая — 10 копеек; обе вместе выручили бы, следовательно, 25 копеек. Они и решили продавать свои яблоки сообща, рассуждая совсем так, как и те две первые торговки: если я продаю за одну копейку пару яблок, а ты за копейку продаешь 3 яблока, то, значит, чтобы выручить свои деньги, нам нужно каждые 5 яблок продавать за 2 копейки.

Сложили они яблоки вместе, распродали их по 2 копейки за каждые пять штук, и вдруг... оказалось, что они выручили всего 24 копейки! Не хватило целой копейки. Задумались и эти крестьянки: как же это могло случиться и кому из них придется этой копейкой поплатиться?

Ответ: В обоих случаях крестьянки продавали яблоки не по старым ценам, а по новым, рассчитанным неверно. Вы можете вместе с учениками рассчитать, по каким именно ценам нужно было продавать, чтобы получилась ожидаемая выручка. Заодно на примере этих задачек можно продемонстрировать, что способов решения обычно несколько.

Как бы то ни было, задачи есть задачи, и их нужно решать. Но подросткам, как правило, куда больше нравятся слова «игра» и «фокус». Что ж, предложите своим ученикам сыграть с вами в математические игры-фокусы.

Сумма цифр задуманного числа

Предложите своим ученикам каждому задумать какое-нибудь трехзначное число, запись которого не содержит одинаковых цифр. Пусть затем, беря цифры задуманного числа по две, каждый составит всевозможные двузначные числа (таких чисел будет 6) и вычислит сумму всех этих чисел. Спросите у любого ученика, какая сумма получилась. Разделите ее на 22, и вы найдете сумму цифр задуманного учеником числа.

Пусть, например, ученик задумал число 145. Сумма всех двузначных чисел для этого числа будет равна 14+15+45+41+51+54 = 220. Если вы разделите эту сумму на 22, то действительно получите 10 — сумму цифр задуманного числа.

После игры предложите ученикам объяснить способ «отгадывания». Можно задать им это на дом. А когда они узнают, в чем тут дело, смогут играть так со своими друзьями.

Возраст и дата рождения

Пообещайте своим ученикам угадать возраст и дату рождения каждого из них. Для этого задайте им проделать следующие вычисления.

Порядковый номер месяца рождения нужно умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить число, на которое приходится день рождения.
Затем полученную сумму нужно умножить на 2 и к тому, что получится, прибавить 8.
Результат нужно умножить на 5, к произведению прибавить 4 и получившуюся сумму умножить на 10.
К тому, что получится, остается прибавить полное число лет (возраст), увеличенное на 4.

Пусть каждый, выполнивший все эти вычисления, запишет на листочке бумаги свою фамилию, получившееся число и передаст листочек вам.

Теперь вы можете назвать возраст и дату рождения любого ученика. Для этого вычитайте 444 из полученного учеником числа, и разность разбивайте на грани справа налево по две цифры (левая часть может остаться одной цифрой). Первая грань справа даст возраст, вторая — число и третья — порядковый номер месяца рождения.

Объяснение: пусть m — порядковый номер месяца рождения, t — число этого месяца и n — число лет. Тогда (((100m+t)*2+8)5+4)10+n+4=10000m+100t+n+444.

Семь карточек

Приготовьте семь карточек. На первой из них напишите все числа, начиная от 1 до 100, через одно число, т. е. 1, 3, 5, 7, 9, ..., 99.

На второй карточке напишите числа: 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 18, 19, ..., 98, 99.
На третьей: 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 28, ..., 92, 93, 94, 95.
На четвертой: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 24, 25, 26, 27, ..., 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95.

На пятой сначала напишите 16 последовательных натуральных чисел, начиная с 16. Следующие 16 последовательных чисел, начиная с 32, не записывайте. Затем запишите снова 16 чисел, начиная с 48, и т. д.

На шестой сначала запишите 32 последовательных натуральных числа, начиная с 32, следующие 32 числа не записывайте и наконец припишите следующие числа с 96 до 100.

На последующей карточке запишите все натуральные числа, начиная с 64 до 100.

Давайте ученикам по очереди приготовленные таким образом карточки. Пусть ученик задумает какое-либо число от 1 до 100 и выберет карточки, на которых это число записано. Только взглянув на эти карточки, вы можете угадать задуманное число. Для этого нужно найти сумму первых чисел, записанных на выбранных карточках. (Числа на карточках можно располагать в произвольном порядке, только нужно запомнить, какие места занимают первые числа: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64).

Вы можете также предложить ученикам самим сыграть в игры, разбившись на пары.

До ста

Играют двое. Первый участник игры называет произвольное целое число, не превышающее десяти, т. е. от 1 до 10. Второй игрок прибавляет к названному числу свое целое число, тоже не превышающее десяти, и сообщает ему сумму. К этой сумме первый прибавляет какое-либо целое число, опять-таки не превышающее десяти, и сообщает новую сумму. К новой сумме второй прибавляет число и т. д. — до тех пор, пока окончательной суммой не окажется 100. Выигрывает тот, кто первым назовет 100.

Четное число спичек

Из 27 спичек, лежащих на столе, двое играющих поочередно отнимают не менее одной и не более четырех спичек. Выигравшим считается тот, у кого по окончании игры окажется четное число спичек. (Вы можете использовать вместо спичек счетные палочки или любые другие предметы).

После увеселительных мероприятий можно предложить ученикам и олимпиадные занимательные задачки. Например, устройте конкурс, разбив класс на команды. Каждый игрок команды, решившей максимальное число задачек за урок, получает отличную оценку! Конечно, уровень сложности будет зависеть от класса, но мы приведем несколько примеров для разных возрастов.

Мальчики и девочки

Четверо ребят обсуждали ответ к задаче. Коля сказал: «Это число 9». Роман: «Это простое число».
Катя: «Это четное число». А Наташа сказала, что это число -15. Назовите это число, если из девочек одна ошиблась, вторая — нет, и из мальчиков тоже ошибся только один.

Ответ: 2
Объяснение: предположим, что Коля прав. Тогда обе девочки неправы, так как 9 не равно 15, и 9 — нечетное число, а это противоречит условию задачи. Значит, что прав Роман и тогда не права Наташа, так как 15 не простое число. Остается предположить, что искомое число простое и четное (так как Катя права), а это только 2. Проверка подтверждает, что условие соблюдено.

Два пастуха

Сошлись два пастуха, Иван и Петр. Иван и говорит Петру: «Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!». А Петр ему отвечает: «Нет, лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!». Сколько же было у каждого овец?
Ответ: 5 и 7.

Сколько карточек?

На первый взгляд на рисунке 5 разных карточек, а на самом деле это не так. Сколько разных карточек на рисунке?

Ответ: 2.
Из первой карточки получается карточка № 2 (поворотом на 180 градусов). А вот оставшиеся 3 карточки (3, 4, 5) — одинаковы: четвертая карточка получается из третьей, поворотом влево на 90 градусов, а пятая — из третьей, поворотом вправо на 90 градусов.

Гулливер и лилипуты

Когда Гулливер попал в Лилипутию, он обнаружил, что там все вещи ровно в 12 раз меньше, чем на его родине. Сможете ли вы сказать, сколько лилипутских спичечных коробков поместится в спичечный коробок Гулливера?

Ответ: 1728.
В гулливерском спичечном коробке должно помещаться 12 лилипутских коробков в ширину, 12 — в длину и 12 — в высоту. Всего 12×12×12=1728 коробков.

Отсчитанные конверты

Один киоскёр получил для продажи несколько пачек конвертов, по 100 конвертов в каждой. 10 конвертов он отсчитывает за 10 секунд. За сколько секунд он может отсчитать 60 конвертов? А 90?

Ответ: 40 и 10. 
Киоскёр сообразил, что, имея пачку в 100 конвертов, можно не отсчитывать 60 конвертов, а отсчитать только 40, — тогда в пачке останется 60 конвертов. То же и с 90 конвертами: достаточно убрать 10 конвертов из пачки.

Надеемся, наши советы помогут вам заинтересовать учеников своим предметом и найти с ними общий язык. Возможно даже, они так полюбят математику, что захотят связать с ней свою будущую профессию... Желаем вам удачи. А напоследок разрешите рассказать вам школьный анекдот про математика. Кстати, если его узнают и ваши ученики, они наверняка поверят в то, что математика и впрямь — царица наук!

В школе заболела преподавательница русского языка, и провести урок русского вместо нее прислали математика.

Математик:
— Какая была тема последнего занятия?
Ученики:
— Падежи.

Математик:
— Повторяем падежи. Именительный: кто, что. Родительный: кого, чего. Дательный: кому... (а дальше забыл). Кто знает?
Ученики (переглядываются, прикалываются):
— Не помним!

Математик: Тогда попробуем вывести ответ. Пусть неизвестное слово Х. Тогда:
кого — чего
кому — Х

Составляем пропорцию:
Х = (чего*кому)/кого = чему («ко» сокращается, «го» тоже) — чему!
Ученики в восторге: ???.. !!!

А математик спокойно продолжает:
— Винительный: кого, что...