Планета школ

Бильбо уселся на скамеечку возле двери, скрестив ноги,
и выпустил красивое серое колечко дыма;
оно поднялось вверх и поплыло вдаль над Холмом.
Дж. Р. Р. Толкиен. Хоббит, или Туда и обратно.

Одно из самых интересных геометрических тел — тор. Форму тора имеют бублики и надутые камеры автомобильных или велосипедных колес. Для человека, наделенного воображением, тор представляет собой целую россыпь занимательных головоломок. Например, колечки дыма. Некоторые курильщики могут их выпускать на спор, например, пять, а сквозь них шестое... Колечки эти устойчивые и довольно долго не растворяются в воздухе. В детстве я читал в «Кванте» статью об исследовании этих колечек: как они взаимодействуют с препятствиями и друг с другом. Для получения колечек дыма предлагалось устройство в виде куба с отверстием. Сторона напротив отверстия — из резины или плотной ткани. Куб заполняется дымом; при ударе по резиновой грани из отверстия выплывает устойчивое колечко... Сделайте такую установку, не поленитесь, — после отладки и настройки она подарит вам немало забав с колечками. А заодно обеспечена пятерка по физике и, может быть, даже выбор профессии.

Классическое определение: тор — это поверхность, образованная вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности и не пересекающей ее. Сразу напрашивается вопрос — а, собственно, почему не пересекающей? А потому что, если ось пересекает окружность, то получим тело, похожее на яблоко, — тор с самопересечением. Как вычислить объем такого тора, если у «нормального» V = 2ПиR²r²?

Все-все, считать больше ничего не будем, это неинтересно и занудно. И никаких больше формул, ибо известно, что каждая формула в статье сокращает число ее читателей на треть... во сколько же раз меньше будет их у статьи с пятью формулами?.. Лучше заняться чем-то приятным, — например, отправиться в космос на межпланетную станцию. Если верить фантастам (а кому же еще верить?), то эти самые станции будут в виде тора — для создания искусственного тяготения за счет вращения.

Итак, представьте, что вы проснулись и не можете понять, где находитесь, — на Земле или на космической станции. Как определить — действует на вас земная гравитация или это имитация гравитации за счет вращения станции?

Первым делом приходит на ум маятник. Как будет меняться период и плоскость его качания на вращающейся станции? Как он будет качаться в плоскости вращения тора? Как отличить его от маятника Фуко?

Куда упадет оброненная монета — точно под ноги или отклонится? Если отклонится, то в какую сторону — по ходу вращения станции или против вращения? Как будет висеть отвес — вертикально или нет? И что такое «вертикально» на станции?

Если мы подпрыгнем «вертикально» вверх, то куда «приземлимся» — в ту же точку ли нет? Или пустим вверх струю неограниченной высоты, — куда вернется вода из фонтанчика? Кстати, подумайте над этим же вопросом и для фонтанчика на поверхности Земли (высота фонтана соизмерима с радиусом Земли).

Как будет вести себя волчок? Куда полетят воздушный шарик и мыльные пузыри на станции?

Какие силы действуют на молекулы воздуха в комнате? Достаточно ли вращения для создания нормального атмосферного давления? Если бежать против вращения станции со скоростью, равной ее линейной скорости, то можно ли обрести невесомость? А если в сторону вращения? А как определить направление вращения станции?

Заметит ли рыбка в аквариуме подмену силы тяжести силой центробежной?

Если ось вращения станции не совпадает с геометрической осью тора и параллельна ей, как почувствуют это обитатели станции? А если оси не параллельны?

Если на станции появится озеро — будет ли его поверхность ровной или же выпуклой, как у земных озер?

Если вы можете передвигаться по вертикали и по горизонтали с одной и той же скоростью, то как быстрее добраться к антиподам, живущим на противоположной стороне станции, — «вертикально» или «горизонтально»? Если станция не очень большая и прозрачная, то мы сможем видеть «антиподов», ходящих у нас над головой вверх ногами. Можно ли бросить какой-нибудь предмет так, чтобы он упал над головой точно напротив нас на «антиподный» пол? Надо ли бросать вертикально вверх, или вращение станции потребует внести коррективы? Если да, то в какую сторону?

Прикиньте, с какой скоростью должна вращаться при разных диаметрах станция для создания такого тяготения, как на поверхности Земли.

Как лучше с точки зрения комфорта для обитателей станции расположить ее на околоземной орбите: чтобы плоскость ее вращения вокруг Земли совпадала с плоскостью вращения станции вокруг своей оси или была ей перпендикулярна? Как отразится гироскопический эффект от вращения станции вокруг оси на вращении станции вокруг Земли?

Теперь выглянем в окно (не дома, а станции) — и вдруг увидим, что наша Земля не шар, а тор. Как будем жить на такой Земле? Как проведем меридианы и параллели? Как будет меняться сила тяжести в разных точках планеты? Как будет двигаться Луна? Будут ли приливы в океанах, и как станет меняться атмосферное давление в разных точках Земли? А рассветы и закаты — как они будут выглядеть, ведь тор будет отбрасывать тень одной своей частью на другую? Как будут выглядеть глобус и географические карты? Особенно политические, ведь на торе для раскраски карты нужно не менее семи красок, на плоскости же, как известно, достаточно четырех. А как будет выглядеть кратчайшая линия между двумя пунктами? Где лучше располагать передающие антенны для максимального охвата? Куда указывает компас?

Это подлинный вид Земли из космоса

На шаре всегда есть точка, в которой нет ветра. Или, другими словами, волосатый шар нельзя причесать гладко, всегда будет макушка, в которой волосы торчат пучком. А волосатый тор причесать можно — и вдоль, и поперек, и под любым углом. Это свойство отразится на метеорологических процессах на торообразной Земле.

Зато есть приятный момент: если вдруг торообразная Земля столкнется с огромным астероидом, то есть вероятность, что он пролетит в «дырку»...

А еще есть наука, раздел математики, изучающая траектории шаров в бильярде. Чтобы удобнее было их прослеживать, рядом с первым прямоугольным полем изображают такое же, но зеркально отраженное, так, чтобы траектория шара как бы продолжалась на новом поле; потом приставляют еще и еще поля, отслеживая движение шаров. Если нарисованные прямоугольники замкнуть по вертикали — получится труба, а если замкнуть и ее концы, то получим тор, на котором след от шара оставляет линии. Теперь удобно исследовать: при каких-то углах (а вот при каких?) линии будут совпадать после обхода тора, при других же углах — замажут, смещаясь, всю поверхность тора.

А ведь можно и в шахматы играть на тороидальной доске. Ладьи будут ходить только вдоль и поперек тора, зато слоны смогут крутиться вокруг него. О том, как станут ходить кони, пока даже думать страшно... да еще на орбитальной тороидальной станции...

Устали от путешествий? Вернемся на свою привычную Землю и ответим на последние три вопроса. Первый легкий: как разрезать тор двумя плоскостями, чтобы получить наибольшее число кусочков?

Второй еще легче: как делают бублики без следов стыка?

Третий — сложный. На тор (например, камеру от колеса) наклеим две полоски — вдоль большой и вдоль малой окружностей — так, чтобы они были зацеплены. Потом проделаем дырочку и через нее вывернем тор наизнанку. Теперь наши полоски окажутся не зацепленными. То есть продемонстрируют наглядное противоречие закону, по которому нельзя расцепить два кольца, не разорвав их. Сомневающиеся могут, по совету Мартина Гарднера, сшить тор из старого чулка, наметать разноцветными нитками два кольца, вывернуть — и убедиться в крушении основ математики.

Для тех, у кого нет старого чулка, предлагаем набрать на любом языке программирования программу, рисующую на экране тор, и поэкспериментировать с ней. Самое приятное, что все параметры — в вашей власти: можно разукрасить тор самым причудливым образом — вдоль, поперек, в цветочек. Можно завязать его в восьмерку или вообще жутким узлом. Можно также крутить не окружность, а любую поверхность, и крутить вокруг оси по самому замысловатому закону, получая каждый раз все более фантастические поверхности...

Для профессиональной работы с трехмерными объектами используют специальные программы — AutoCAD и, конечно, 3D MAX.

Ну вот и все. В следующий раз, откусывая бублик или заклеивая камеру велосипедного колеса, отнеситесь к их форме с должным почтением.

Присылайте свои размышления и собственные новые открытия про тор. И картинки, нарисованные вашими программами.